ON IMPULSE STABILIZATION OF CHAOTIC CHEN SYSTEM

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The concepts of chaotic systems and systems of differential equations with impulse action are formulated. Chen’s chaotic system is considered. It is a system of three ordinary differential equations admitting a zero solution which is Lyapunov unstable. The problem of stabilization of this solution is posed. This problem is solved by two methods: by impulsive actions at fixed points in time and by impulsive actions that occur on some set of phase space.

About the authors

A. O Ignatiev

Institute of Applied Mathematics and Mechanics

Email: aoignat@mail.ru
Donetsk, Russia

References

  1. Lorenz E.N. The essence of chaos. The Jessie and John Danz Lectures. University of Washington Press. Seattle. WA. 1993. xii+227 p.
  2. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы // Автоматика и телемехан. 2003. Т. 64. № 5. С. 3–45.
  3. Wu X., Sun Y., Wang Y., Chen Y. Passive chaos suppression for the planar slider-crank mechanism with a clearance joint by attached vibro-impact oscillator // Mechanism and Machine Theory. 2023. V. 174. P. 104882.
  4. Strogatz S.H. Nonlinear dynamics and chaos. With applications to physics, biology, chemistry, and engineering. Second edition. Westview Press. Boulder. CO. 2015. – xiii+513 p.
  5. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmospheric Sci. 1963. V. 20. № 2. P. 130–141.
  6. Lorenz E.N. On the prevalence of aperiodicity in simple systems // Global analysis (Proc. Biennial Sem. Canad. Math. Congr., Univ. Calgary, Calgary, Alta., 1978). P. 53–75. Lecture Notes in Math. V. 755. Springer. Berlin. 1979.
  7. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem // Found. Comput. Math. 2002. V. 2. № 1. P. 3–117.
  8. Chen G. Control and anticontrol of chaos // First Int. Conf. Control of Oscillations and Chaos, COC’97, St. Petersburg, Russia. August 27–29. 1997. P. 181–186.
  9. Chen G., Lai D. Feedback anticontrol of discrete chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1998. V. 8. P. 1585–1590.
  10. Wang X.F, Chen G. On feedback anticontrol of discrete chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1999. V. 9. P. 1435–1441.
  11. Chen G., Ueta T. Yet another chaotic attractor // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1999. V. 9. P. 1465–1466.
  12. Ueta T., Chen G. Bifurcation analysis of Chen’s attractor // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2000. V. 10. P. 1917–1931.
  13. Yang T. Impulsive Control Theory. Springer. Berlin, Heidelberg. 2001. 348 p.
  14. Мильман В.Д., Мышкис А.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сиб. матем. журнал. 1960. Т. 1. № 2. С. 233–237.
  15. Мышкис А.Д., Самойленко А.М. Системы с толчками в заданные моменты времени // Матем. сборник. 1967. Т. 74. № 2. С. 202–208.
  16. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев. Вища школа. 1987. 288 c.
  17. Bainov D.D., Simeonov P.S. Systems with impulse effect: stability, theory and applications. New York – Chichester – Brisbane – Toronto. Halsted Press. 1989. 256 p
  18. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of impulsive differential equations. Singapure – New Jersey – London. World Scientific. 1989. xii+273 p.
  19. Haddad W.M., Chellaboina V., Nersesov S.G. Impulsive and hybrid dynamical systems: stability, dissipativity, and control. Princeton. Princeton University Press. 2006. 520 p.
  20. Li Z., Soh Y., Wen C. Switched and Impulsive Systems: Analysis, Design, and Applications. Berlin – Heidelberg – New York. Springer. 2005. 274 p.
  21. D’Onofrio A. Pulse Vaccination Strategy in the SIR Epidemic Model: Global Asymptotic Stable Eradication in Presence of Vaccine Failures // Mathematical and Computer Modelling. 2002. V. 36. P. 473–489.
  22. Smith R.J., Wahl L.M. Distinct Effects of Protease and Reverse Transcriptase Inhibition in an Immunological Model of HIV - 1 Infection with Impulsive Drug Effects // Bulletin of Mathematical Biology. 2004. V. 66. P. 1259–1283.
  23. Smith R.J., Wahl L.M. Drug resistence in an immunological model of HIV - 1 infection with impulsive drug effects // Bulletin of Mathematical Biology. 2005. V. 67. P. 783–813.
  24. Zhou Y., Liu H. Stability of Periodic Solutions for an SIS Model with Pulse Vaccination // Mathematical and Computer Modelling. 2003. V. 38. P. 299–308.
  25. Перестюк М.О., Чернiкова О.С. До питання про стiйкiсть iнтегральних множин систем iмпульсних диференцiальних рiвнянь // Укр. матем. журнал. 2002. Т. 54. № 2. С. 249–257.
  26. Cabada A., Liz E. Discontinuous impulsive differential equations with nonlinear boundary conditions // Nonlinear Analysis.TMA. 1997. V. 28. № 9. P. 1491–1497.
  27. Гладилина Р.И., Игнатьев А.О. О необходимых и достаточных условиях асимптотической устойчивости для импульсных систем // Укр. матем. журнал. 2003. Т. 55. № 8. С. 1035–1043.
  28. Гладилина Р.И., Игнатьев А.О. Об устойчивости периодических систем с импульсным воздействием // Матем. заметки. 2004. Т. 76. № 1. С. 44–51.
  29. Игнатьев А.О. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Матем. сборник. 2003. Т. 194. № 10. С. 117–132.
  30. Бойчук А.А., Перестюк Н.А., Самойленко А.М. Периодические решения импульсных дифференциальных систем в критических случаях // Дифференц. ур-ния. 1991. Т. 27. № 9. С. 1516–1521.
  31. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A., Soliman A.A. Asymptotic stability and instability of the solutions of systems with impulse action // Mathematical Notes. 2006. V. 80. № 4. P. 491–499.
  32. Двирный А.И., Слынько В.И. Аналог критического случая А.М. Молчанова для импульсных систем // Автоматика и телемехан. 2015. Т. 76. № 6. С. 3–17.
  33. Dvirnyi A.I., Slyn’ko V.I. Application of Lyapunov’s direct method to the study of the stability of solutions to systems of impulsive differential equations // Mathematical Notes. 2014. V. 96. № 1. P. 22–35.
  34. Игнатьев А.О. О существовании периодического решения системы Льенара с импульсным воздействием // Труды института матем. и механ. УрО РАН. 2021. Т. 27. № 1. С. 79–87.
  35. Iervolino R., Ambrosino R. Finite-time stabilization of state dependent impulsive dynamical linear systems // Nonlinear Anal. Hybrid Syst. 2023. V. 47. P. 101305.
  36. Zhang Q., Tang S., Zou X. Rich dynamics of a predator-prey system with state-dependent impulsive controls switching between two means // J. of Differential Equations.2023. V. 364. P. 336–377.
  37. Liu X., Teo K.L. Impulsive control of chaotic system // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2002. V. 12. № 5. P. 1181–1190.
  38. Liu X., Liu Y., Teo K.L. Stability Analysis of Impulsive Control Systems. Mathematical and Computer Modelling. 2003. V. 37. P. 1357–1370.
  39. Sun J., Zhang Y., Wub Q. Impulsive control for the stabilization and synchronization of Lorenz systems // Physics Letters A. 2002. V. 298. P. 153–160.
  40. Wu X., Lu J., Tse C.K, Wang J., Liu J. Impulsive control and synchronization of the Lorenz systems family // Chaos, Solitons and Fractals. 2007. V. 31. P. 631–638.
  41. Xie W., Wen C., Li Z. Impulsive control for the stabilization and synchronization of Lorenz systems // Physics Letters A. 2000. V. 275. P. 67–72.
  42. Yang T., Yang L.-B., Yang C.-M. Impulsive control of Lorenz system // Physica D. 1997. V. 110. P. 18–24.
  43. Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В.А. Синхронизация колебаний в системе Лоренца // Известия вузов. Радиофиз. 1989. Т. 32. № 9. С. 1172.
  44. Айдарова Ю.С., Кузнецов А.П., Тюрюкина Л.В. Сравнительный анализ синхронизации гармоническим и импульсным сигналом на примере системы Лоренца // Известия вузов. ПНД. 2007. Т. 15. № 4. С. 55–67.
  45. Kilina A., Panteleeva P., Stankevich N. Multi-dimensional chaos initiated by short pulses in non-autonomous radiophysical generator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2024. V. 135. P. 108044.
  46. Kuznetsov A.P., Turukina L.V, Mosekilde E. Dynamical systems of different classes as models of the kicked nonlinear oscillator // Internat. Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. V. 11. № 4. P. 1065–1077.
  47. Кузнецов А. П., Станкевич Н.В., Чернышов Н.Ю. Стабилизация хаоса в системе Ресслера импульсным и гармоническим сигналом // Известия высших учебных заведений. Прикл. нелинейная динамика. 2010. Т. 18. № 4. С. 3–16.
  48. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Стабилизация внешними импульсами и синхронный отклик в системе Рeсслера до порога бифуркации седло-узел // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. № 2. С. 253–264.
  49. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Стабилизация внешними импульсами системы Ресслера в режиме “убегающей” траектории // Письма в Журнал техн. физ. 2008. Т. 34. № 14. С. 68–74.
  50. Кузнецов А.П., Тюрюкина Л.В. Инициированные короткими импульсами устойчивые квазипериодические и периодические режимы в системе с неустойчивым предельным циклом // Прикл. нелинейная динамика. 2006. Т. 14. № 1. С. 72–81.
  51. Ignatyev A.O. Lyapunov Function Method for Systems of Difference Equations: Stability with Respect to Part of the Variables // Differential Equations. 2022. Т. 58. № 3. С. 405–414.
  52. Игнатьев А.О. Об использовании аналога функции Ляпунова со знакопеременной производной при исследовании глобальной асимптотической устойчивости положения равновесия // Матем. заметки. 2014. Т. 96. № 2. С. 212–216.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences